Black-Litterman 模型介紹

作者:C.Y | 數據來源:Growin 量化團隊| 圖片來源:Yuting / unsplash.com

著名的 Markowitz 模型利用資產的預期收益及風險來配置最佳化投資組合,但在實務上的應用卻有 (1) 配置過於集中(Black and Litterman (1992))、(2) 對輸入參數過於敏感(Best and Grauer (1991))及 (3) 估計參數誤差過大(Michaud (1989))等問題,使得該模型在市場上並未得到青睞。在 1992 年,由 Fisher Black 和 Robert Litterman 提出 Black-Litterman 模型(下述簡稱B-L 模型)(Black and Litterman (1992)) 基於Markowitz 模型進行修正,大幅降低了上述問題並且加入投資人對資產的預期觀點,使得模型更貼近實務使用。

B-L 模型並非直接對各資產進行報酬預測,而是以市場均衡報酬為起點再應用貝氏理論結合投資者觀點,得到在投資者觀點下的市場均衡報酬分佈,最後再進行最佳化配置。圖一是 B-L 模型的架構簡介,接下來我們將針對B-L模型內容進行簡單的介紹。

[圖一]:B-L 模型架構圖

市場均衡報酬

B-L 模型結合著名的 CAPM 理論,由 CAPM 理論我們可以得到市場均衡報酬( \Pi)為

 \Pi = \lambda\Sigma w_{mkt}

 ,其中  \lambda:風險趨避係數、\Sigma :資產間的共變異矩陣、 w_{mkt}:市場均衡權重。估計資產間共 變異矩陣除了使用簡單的統計公式計算以外,還能使用 shrinkage 方法(Ledoit, O. and M. Wolf (2003))提升估計的穩定性。市場均衡權重則是用標的市值除上所有配置標的市值總和。

投資者觀點

投資者可依照各自對於標的未來預期表現設定觀點係數矩陣( P)及觀點預期矩陣(Q),觀點可以是絕對或是相對的,例如未來看好某標的上漲多少個百分點或是 A 標的未來預期表現高於 B 標多少百分點,且利用誤差矩陣(ᘯ)來表示對觀點的信心程度。假設投資人對於未來有 4 個觀點且有著百分之百的信心,則誤差矩陣為一個 4×4 的單位矩陣。

貝氏理論

貝氏理論是機率論中相當重要的部分,也經常應用在許多其他的領域。簡單來說是刻畫在已知的某些條件下,某個事件發生的結果分佈情形為何。透過貝氏理論我們可以結合市場均衡報酬及投資者觀點得到在投資者觀點下市場均衡報酬分佈服從  

Normal ([(\tau\Sigma)^{-1}+(P^{T}\Omega^{-1}P)]^{-1}[(\tau\Sigma)^{-1}\Pi+(P^{T}\Omega^{-1}Q)], [(\tau\Sigma)^{-1}+(P^{T}\Omega^{-1}P)]^{-1})

,其中  \tau 為調整係數,主要用途是調整市場預期報酬所佔最終分布的影響程度多寡,不同文獻對於此參數有不同看法,有一派認為該值設定為 1,而另一派則認為是一個靠近 0 的數字。

實務應用

相較於 Markowitz 模型單純使用標的歷史價格估計預期報酬及風險即可進行投資組合配置,B-L 模型所需資料及參數更多且文獻對於參數設定也各有不同見解,所以要不斷透過不同的組合測試才能得到穩健的配置方式。另外,當配置標的為不同市場或不同種類時,市場均衡權重無法直接透過市值計算而得,這時就需要尋找其他相對合理的方法代替。

由於 B-L 模型是屬於單期模型,實務上隔一段期間會進行再平衡的的動作,重新調整投資組合權重以因應市場的變化,然而再平衡的調整頻率若太短則會額外增加交易成本,反之則可能對於市場變化延遲反應增加更多虧損。

Black-Litterman 模型與 AI 結合

B-L 模型特色之一是可以加入投資者觀點,我們結合多重機器學習演算法並且以集成(ensemble)的方式進行預測,將結果作為投資者觀點,我們稱這樣的觀點為 AI View。透過使用歷史價量、技術指標、各種經濟數據、指數、關鍵財務工程模型參數作為因子,從中篩選與標的未來報酬較為相關者做為演算法特徵值,讓各種機器學習的演算法學習如何預測市場,並且透過新進的資料點,不斷的精進其預測能力。這樣的方式避免了人為主觀意識的影響,以量化的客觀角度做為出發點。而利用集成的方式,結合多種不同機器學習演算法之結果,則可發揮「三個臭皮匠勝過一個諸葛亮」的效果,進而提升預測準確度。

Markowitz模型 v.s BL + AI performance

以下我們給個簡單的實作範例,來看看 Markowitz 與 B-L 模型各自的表現。我們使用 VTI、TLT、 IAU 及 SHY 這四檔 ETF(分別代表股票、債券、黃金及現金)進行回測,比較 Markowitz 及 B-L 模型搭配 AI View 的表現。回測期間由 2006 年 1 月至 2020 年 3 月,固定每季進行投資組合權重調整。

由 [圖二] 及 [圖三] 可以發現由 Markowitz 模型所形成的投資組合在回測期間調整的幅度相較於 B-L 模型變化較大,間接呈現了 Markowitz 模型對於參數過於敏感及配置過於集中的情形,而權重變化過大在實際應用上會增加許多不必要的交易成本。

[圖二]:Markowitz 模型每季標的權重變化圖
[圖三]:B-L 模型每季標的權重變化圖

  比較兩個模型的回測績效如 [表一],可以發現 B-L 模型的年化報酬較高且年化波動率也較低。若額外考量投資組合每季權重調整所產生的交易成本,平均權重變化較大的 Markowitz 模型想必年化報酬率會再落後更多。此外,如此較大的權重調整除了並未提升投資組合的報酬也未降低投資組合的波動率,顯示 B-L 模型加上 AI View 的表現明顯於 Markowitz 模型所配置的投資組合。

總結

回顧此篇文章簡單介紹了 Black-Litterman 模型及實務上應用可能會遇到的問題,也介紹如何應用機器學習演算法形成 AI View 與 B-L 模型結合並透過回測與 Markowitz 模型進行比較。由回測的結果我們可以間接觀察到文章一開始提及 Markowitz 模型實務上應用的常見問題,而 B-L 模型能有效地予以修正。並從兩個方法的年化報酬及波動率可觀察到,B-L 模型加上以 AI View 作為投資者觀點的表現較佳。

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